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摘要:不等式作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個重要知識體系，被廣泛應(yīng)用于數(shù)理科學(xué)的各個方面，從數(shù)的運(yùn)算比較到線性回歸問題，幾乎處處都能找到不等式的身影，而在實(shí)際生活中,它也是把復(fù)雜問題變得簡單化的一種重要工具。本文首先介紹了初等數(shù)學(xué)中常用的證明方法如比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法等；在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)歸納總結(jié)了利用數(shù)學(xué)分析相關(guān)知識證明不等式的方法，如利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、凸凹性、微分中值定理和積分中值定理等證明不等式，以及靈活的綜合運(yùn)用這些知識證明不等式的方法；最后簡要總結(jié)了用一些已知不等式如柯西不等式、均值不等式、赫爾德不等式、詹森不等式等證明不等式的方法。通過對不等式證明方法的深入探究，不但進(jìn)一步加強(qiáng)了對不等式及其相關(guān)性質(zhì)的掌握，拓展了不等式方面的相關(guān)知識，同時還增強(qiáng)了自身的歸納總結(jié)能力和邏輯證明能力，培養(yǎng)了自主探究的習(xí)慣，對之后的學(xué)習(xí)提供了諸多經(jīng)驗(yàn)。 關(guān)鍵詞：不等式；導(dǎo)數(shù)；積分；中值定理
目錄 摘要 Abstract 1.不等式研究的意義-1 1.1研究背景-1 1.2研究現(xiàn)狀-1 1.3研究目的及意義-2 2.利用常用方法證明不等式-4 2.1比較法-4 2.1.1作差法-4 2.1.2作商法-4 2.2分析法-4 2.3反證法-5 2.4放縮法-6 2.5迭合法-6 2.6數(shù)學(xué)歸納法-7 2.7換元法-7 3.利用數(shù)學(xué)分析的相關(guān)知識證明不等式-8 3.1函數(shù)單調(diào)性-8 3.2函數(shù)的極值（最值）-9 3.3函數(shù)凹凸性-12 3.4中值定理-14 3.4.1拉格朗日中值定理-14 3.4.2泰勒中值定理-16 3.4.3積分第一中值定理-19 3.4.4積分第二中值定理-21 3.4.5定積分估值性質(zhì)-22 4.利用已知不等式證明不等式-24 4.1柯西不等式-24 4.2均值不等式-24 4.3赫爾德不等式-26 4.4詹森不等式-27 結(jié) 論-28 參 考 文 獻(xiàn)-29 致 謝-30 |
