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摘要:本文通過優(yōu)化的KOND算法對一維熱傳導方程進行數(shù)值離散化, 進而研究一維熱傳導方程的數(shù)值解和邊界條件.該算法利用網(wǎng)格點之間的對稱性,減少了計算機資源的存儲量,提高了運算速度.該方法與其它方法比較,具有計算精度高、方便計算等優(yōu)點,是求解偏微分方程數(shù)值解比較優(yōu)秀的方法之一. 關(guān)鍵詞：KOND算法；一維熱傳導方程；數(shù)值解；泰勒展開
第一章 引言 拋物型偏微分方程是一類描述物理量隨時間的擴散和衰減變化規(guī)律的方程.在自然環(huán)境、工程設(shè)備及生物機體中有廣泛的應(yīng)用,諸如氣體的擴散、液體的滲透、熱的傳導、以及半導體材料中雜質(zhì)的擴散等都可用熱傳導方程來描述.在拋物型偏微分方程的研究中,一維熱傳導方程是典型的相對簡單、也是比較經(jīng)典的方程.上個世紀九十年代以來,在物理和力學的許多問題的研究,相繼引出了熱傳導方程,袁光偉等人先后都對該方程作了比較詳細和深刻的研究[1]. 人們對熱傳導方程的求解研究由來已久,如田振夫的加權(quán)差分格式[2],馮新龍等人的加權(quán)隱格式[3],分離變量法、傅里葉變化法和拉普拉斯變換法[4]等.近些年來,通過人們堅持不懈的努力,又尋求到了一些熱傳導方程的解法,如有限元法[5],半離散差分格式[6],離散正則化方法[7],無網(wǎng)格方法[9],差分法[8]等等.其中,金繼承提出了考慮一維無界域上熱傳導方程的數(shù)值求解問題,首先引入人工邊界條件,將無界域上的問題簡化為有界域上的初邊值問題,再用適當?shù)姆椒x散人工邊界條件,用Crank-Nicolson格式和線性及二次有限元方法分別離散方程的時間和空間變量,從而構(gòu)建了問題的完全離散格式[10]；丁玉梅討論一維熱傳導方程初邊值問題中,通過構(gòu)造輔助函數(shù),化非齊次邊界條件為齊次邊界條件[11]；開依沙爾·熱合曼對求解一維熱傳導方程利用半離散的方法轉(zhuǎn)化為一系列的常微分方程組,然后通過常微分方程的求解方法來求解熱傳導方程[6]；馮新龍等人利用加權(quán)隱格式,在固定網(wǎng)比的前提下,得到修正加權(quán)因子opt,利用此opt求解一維熱傳導方程的數(shù)值解[3].然而這些方法計算起來都比較復(fù)雜,因此我們要研究一種有效的求解熱傳導方程的法案. |
