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摘要：眾所周知，研究逐點收斂的函數(shù)數(shù)列的勒貝格積分時，積分號和逐點收斂的極限號并不是隨意交換的.控制收斂定理告訴我們，若逐點收斂的函數(shù)列的每一項都能被同一個勒貝格可積的函數(shù)“控制”（也就是說對變量取任意一個值，這個函數(shù)的絕對值都小于另一個函數(shù)），則函數(shù)列的極限函數(shù)的勒貝格積分等于函數(shù)列中每個函數(shù)的勒貝格積分的極限.類似的問題在數(shù)學(xué)分析中也會出現(xiàn)，即黎曼積分中的積分與極限不能隨意交換次序.在數(shù)學(xué)分析中，“控制函數(shù)”這一說法還沒明確提出來. 本論文通過對控制收斂定理在數(shù)學(xué)分析中體現(xiàn)的研究，有助于我們對實變函數(shù)與泛函分析更好的理解，對于知識交叉處有更深的認識和掌握,同時學(xué)會解決問題的辦法，并且拓寬了數(shù)學(xué)思維和視野.
關(guān)鍵詞：積分與極限,可積函數(shù),黎曼積分,控制收斂
目錄 摘要 ABSTRACT 1 引言-1 2黎曼積分-1 2.1黎曼積分的基本概念-1 2.2不可積函數(shù)的舉例-2 2.3積分與極限交換次序的條件-3 3勒貝格積分-4 3.1勒貝格積分的基本概念-4 3.2勒貝格積分的優(yōu)越性-6 4控制收斂定理-8 4.1控制收斂定理的內(nèi)容-8 4.2可積的控制函數(shù)-9 4.3控制收斂定理在數(shù)學(xué)分析中的體現(xiàn)-10 4.3.1判斷級數(shù)的收斂-10 4.3.2極限與積分的問題-12 4.3.3積分的和的問題-14 5本文總結(jié)-16 6參考文獻-17 7致謝-18 |
