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摘要：線性空間是數(shù)學(xué)中基本的概念之一.在《高等代數(shù)》中，我們已經(jīng)了解了在數(shù)域上所定義的線性空間，本文是在模剩余類環(huán)上將線性空間進(jìn)行了進(jìn)一步推廣，并且討論了其最基本的一些性質(zhì)，而且通過一些具體例子加以說明. 關(guān)鍵詞：線性空間；模剩余類環(huán)；代數(shù)運(yùn)算；向量空間
本文中的線性空間是在模剩余類環(huán)上定義的一個(gè)特殊集合，在一般情況下，我們考慮的是數(shù)域上的線性空間，在這里，我們進(jìn)一步將線性空間在環(huán)上進(jìn)行了推廣，而且是針對模剩余類環(huán)上的一個(gè)推廣.首先，本文中我們對所定義的模剩余類環(huán)上的線性空間分別舉出了兩個(gè)正例和一個(gè)反例加以說明，其中的反例滿足了線性空間的七條規(guī)則，只對其中的一條不能滿足；其次，我們在進(jìn)行定義和運(yùn)算中，有些地方也是比較新穎的，如例3中對為偶數(shù)的限制和對奇偶性的討論；再次，我們發(fā)現(xiàn)在數(shù)域上的線性空間成立的一些性質(zhì)，在模剩余類環(huán)上的線性空間中有些是成立的，但是也有一部分不一定成立，祥見注1和注2. 數(shù)域和模剩余類環(huán)都是在環(huán)上的兩個(gè)獨(dú)立的特殊集合，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，雖然二者之間的某些性質(zhì)我們可以相互借鑒，但是不能將二者混為一談，因此，對于數(shù)域上的線性空間和模剩余類環(huán)上的線性空間不能直接做比較.對于定義在一般環(huán)上的線性空間，還有待于我們進(jìn)一步探究. |
